Questão 17 - OBMEP 2013 - Nível 3
Paulo tem tintas de quatro cores diferentes. De quantas maneiras ele pode pintar as regiões da bandeira da figura, cada uma com uma única cor, de modo que cada cor apareça pelo menos 1 vez e que as regiões adjacentes sejam pintadas com cores diferentes.
A) 336B) 420
C) 576
D) 864
E) 972
Encontrei esta resposta neste link: http://pir2.forumeiros.com/t68128-obmepanalise-combinatoria
ResponderExcluir"Regiões adjacentes sao regioes q estao lado a lado. Existem quatro possibilidades de cores a serem utilizadas, e para pintar a bandeira de modo que regioes q estejam lado a lado nao tenham a mesma cor, serão 432 maneiras, pois:
Supondo q Paulo comece a pitar pelo primeiro triangulo , para ele serao quatro cores disponiveis , logo 4 possibilidades ; para o segundo triangulo serao 3 possibilidades ( as quatro cores menos a utilizada no triangulo ao lado) ; para a primeira faixa serao 2 possibilidades ( as quatro cores menos as duas utilizadas nos triangulos ao seu lado) ; para a segunda faixa serao 3 possibilidades (as quatro cores menos a utilizada na faixa em cima dela) ; para o triangulo abaixo sao tbm 3 possibilidades ( as quatro cores menos a utilizada na faixa acima dele) e para o outro triangulo 2 possibilidades ( as quatro cores menos as duas utilizadas na faixa e no triangulo ao seu lado). Pelo principio fundamental da contagem temos : 4 x 3 x 2 x 3 x 3 x2 = 432 maneiras.
No entanto, há outra restrição: todas as cores devem ser utilizadas. Podemos entao determinar o numero de casos em que nem todas as cores aparecem (repare q o numero minimo de cores a serem utilizadas é 3 , pois com duas cores ou apenas uma , regioes adjacentes teriam mesma cor) . Supondo q as cores fossem amarelo , verde, azul e branco , poderia ocorrer o caso em q o amarelo nao é utilizado , o caso em q o verde nao eh utilizado, o q o azul nao é e o em q o branco nao é (ou seja quatro casos em q se utilizaram apenas tres cores) , e o numero de maneiras de se pintar a bandeira com apenas tres cores, seguindo o raciocinio anterior ,é 24. E já que esse caso pode se repetir quatro vezes temos : 4 x 24 = 96 casos em que nem todas as cores foram utilizadas.
Logo o numero de maneiras em que regioes adjacentes nao tem cores iguais e todas as cores sao utilizadas é : 432-96= 336 .
Não sei se deu pra entender kkkk, mais eh isso ai"
Já no próprio gabarito da OBMEP achei:
ResponderExcluirChamemos de n1 o número de maneiras diferentes que Paulo pode pintar a
bandeira, de acordo com as condições do enunciado, usando pelo menos 3
cores dentre as 4 cores disponíveis, e de n2 o número de maneiras diferentes
que Paulo pode pintar a bandeira usando 3 cores diferentes, dentre as 4 que
ele dispõe. A resposta ao nosso problema será n = n1 - n2.
Vamos supor que Paulo pinte a bandeira na sequência A1B1C1C2B2A2. Pelo princípio multiplicativo, temos n1 = 4x3x2x3x3x2 = 432. Por outro lado, para cada trio de cores diferentes temos 3x2x1x2x2x1 = 24 maneiras diferentes de pintar a bandeira. Como Paulo tem 4 maneiras diferentes de escolher trios de cores diferentes, temos que n2 = 4x24 = 96 . Logo n = 432 - 96 = 336.
Muito bom!
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